函数与方程的 运用难题.已知二次函数f(x)=ax²+bx+c（1）若a＞b＞c,且f（1）=0,试说明f(x)必有两个
函数与方程的 运用难题.
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
（1）若a＞b＞c,且f（1）=0,试说明f(x)必有两个零点.
（2）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x₂)]有两个不相等的实数根,证明必有一个实根属于（x₁,x₂）
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
（1）若a＞b＞c,且f（1）=0,试说明f(x)必有两个零点.
（2）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂,f(x₁)≠f(x₂),方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x₂)]有两个不相等的实数根,证明必有一个实根属于（x₁,x₂）
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⑴由于f(1)＝0
∴a＋b＋c＝0
∴b＝－(a＋c)
∴△＝b^2－4ac＝(a＋c)^2－4ac＝(a－c)^2
∵a＞c
∴△＞0
故f(x)与x轴必有两个交点
即f(x)有两个零点
⑵令g(x)＝f(x)－1/2[f(x1)＋f(x2)],则：
g(x1)＝f(x1)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝1/2[f(x1)－f(x2)]
g(x2)＝f(x2)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝－1/2[f(x1)－f(x2)]
∴g(x1)g(x2)＝－1/4[f(x1)－f(x2)]^2
∵f(x1)≠f(x2)
∴g(x1)g(x2)＜0
∴g(x)＝0必有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根
即方程f(x)＝1/2[f(x1)＋f(x2)有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根
∴a＋b＋c＝0
∴b＝－(a＋c)
∴△＝b^2－4ac＝(a＋c)^2－4ac＝(a－c)^2
∵a＞c
∴△＞0
故f(x)与x轴必有两个交点
即f(x)有两个零点
⑵令g(x)＝f(x)－1/2[f(x1)＋f(x2)],则：
g(x1)＝f(x1)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝1/2[f(x1)－f(x2)]
g(x2)＝f(x2)－1/2[f(x1)＋f(x2)]＝－1/2[f(x1)－f(x2)]
∴g(x1)g(x2)＝－1/4[f(x1)－f(x2)]^2
∵f(x1)≠f(x2)
∴g(x1)g(x2)＜0
∴g(x)＝0必有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根
即方程f(x)＝1/2[f(x1)＋f(x2)有两个不相等实数根,且在(x1,x2)之间必有一根
1年前
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