线性代数特征向量相似矩阵问题。

线性代数特征向量相似矩阵问题。
无论是用可逆矩阵还是正交矩阵，化原矩阵A为对角矩阵，即P-1AP为对角矩阵。
课本中的做法都是求A的特征向量把拼成一个矩阵P,这个P即为所求。(若要求正交阵还需单位正交化)。
我不明白为什么这样拼起来就得到了可逆阵或正交阵P，这如何证明？期待解惑，谢谢。

ainana772 1年前已收到2个回答举报

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P-1AP为对角矩阵↔
P-1AP=kI(I为单位矩阵）↔
AP=kP…………（1）
而对于特征向量Q，AQ=kQ，将所有Q拼成一个矩阵Q'后，依然有AQ'=kQ'（这个很容易证明），由（1），可知原命题成立

1年前

violar 幼苗

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知识点: 方阵A可逆 A的列向量组线性无关
方阵A正交 A的列向量两两正交且长度为1.

所以直接将A的线性无关的特征向量拼成矩阵P, 则P可逆
将A的特征向量正交化单位化后拼成的矩阵P是正交矩阵.

1年前

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