1.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC.垂足为D.求证：∠DBC=?∠A.

1. 角DBC＝90度－角ACB＝90°－角ABC
角BAC＝180度－2角ACB
所以2角DBC＝角A
2


延长BA, 使AE=AD , 则 BE=AB+AD 三角形ABC是等腰直角三角形,BD平分∠ABC ∴∠1=22.5 ∠ADB=67.5. ∵AD=AE,AB=AC ∠BAC=∠CAE=90 ∴△ABD全等于△ACE ∴∠1=∠3=22.5,∠5=∠ADB=67.5 ∴∠5=∠4+∠3 ∴BE=BC 即AB+AD =BC
3
在BC上截取CE=CA,连接DE,由SAS可判定△ACD≌△ECD,AD=ED
∴∠CED=∠A
∴∠CED=2∠B
∵∠CED=∠B+∠BDE
∴2∠B=∠B+∠BDE,∠B=∠BDE
∴EB=ED=AD
∴BC=EB+CE=AC+AD


4

连BD ∵DE是BC的垂直平分线 ∴BD=CD =AB ∴∠A=∠1 ∵∠1=∠DBC+∠DCB且∠DBC=∠DCB ∴：∠A=2∠C.


5


在BC上截取点E,使CE=AC
又CD是角平分线,CD为公共边,可证三角形ACD全等于三角形ECD
得AD=DE,∠A=∠CED,又∠A=2∠B,
所以∠CED=2∠B,又∠CED=∠B+∠BDE
所以∠B=∠BDE,所以BE=DE,又AD=DE,所以BE=AD
所以BC=CE+BE=AC+AD
即BC=AC+AD

6 ∵CD⊥AB,则∠BDC=90度, ∴∠BCD=90度-∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=（180度-∠A）/2,∴∠BCD=90度-（180度-∠A）/2=∠A/2.即：∠BCD=1/2∠A


7


延长AE、BC,相交于点F.

已知AD‖BC,∠DAE = ∠BAE ,DE = EC ,
得∠BFA = ∠DAE = ∠BAE ,AE = EF ,
所以BA = BF ,BE是等腰△BAF底边上的中线,
BE平分等腰△BAF的顶角∠ABF,
即BE平分∠ABC .