在（2x-3y） 10 的展开式中，求：
| 在（2x-3y） 10 的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和； （3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. |
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(1) 2 10 (2) 1(3) 2 9 （4）
（5）
设(2x-3y) 10 =a 0 x 10 +a 1 x 9 y+a 2 x 8 y 2 +…+a 10 y 10 (*)
各项系数和即为a 0 +a 1 +…+a 10 ,奇数项系数和为a 0 +a 2 +…+a 10 ,偶数项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 ,x的奇次项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 ,x的偶次项系数和a 0 +a 2 +a 4 +…+a 10 .
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）二项式系数和为C
+C
+…+C
=2 10 .
（2）令x=y=1,各项系数和为(2-3) 10 =(-1) 10 =1.
（3)奇数项的二项式系数和为C +C
+…+C =2 9 ,
偶数项的二项式系数和为C +C
+…+C
=2 9 .
(4)设（2x-3y） 10 =a 0 x 10 +a 1 x 9 y+a 2 x 8 y 2 +…+a 10 y 10
令x=y=1,得到a 0 +a 1 +a 2 +…+a 10 ="1" ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +…+a 10 =5 10 ②
①+②得2(a 0 +a 2 +…+a 10 )=1+5 10 ,
∴奇数项的系数和为 ；
①-②得2(a 1 +a 3 +…+a 9 )=1-5 10 ,
∴偶数项的系数和为 .
（5）x的奇次项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 = ;
x的偶次项系数和为a 0 +a 2 +a 4 +…+a 10 = .
（5）
设(2x-3y) 10 =a 0 x 10 +a 1 x 9 y+a 2 x 8 y 2 +…+a 10 y 10 (*)
各项系数和即为a 0 +a 1 +…+a 10 ,奇数项系数和为a 0 +a 2 +…+a 10 ,偶数项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 ,x的奇次项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 ,x的偶次项系数和a 0 +a 2 +a 4 +…+a 10 .
由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
（1）二项式系数和为C
+C
+…+C
=2 10 .（2）令x=y=1,各项系数和为(2-3) 10 =(-1) 10 =1.
（3)奇数项的二项式系数和为C
+C
+…+C =2 9 ,偶数项的二项式系数和为C
+C
+…+C
=2 9 .(4)设（2x-3y） 10 =a 0 x 10 +a 1 x 9 y+a 2 x 8 y 2 +…+a 10 y 10
令x=y=1,得到a 0 +a 1 +a 2 +…+a 10 ="1" ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +…+a 10 =5 10 ②
①+②得2(a 0 +a 2 +…+a 10 )=1+5 10 ,
∴奇数项的系数和为
；①-②得2(a 1 +a 3 +…+a 9 )=1-5 10 ,
∴偶数项的系数和为
.（5）x的奇次项系数和为a 1 +a 3 +a 5 +…+a 9 =
;x的偶次项系数和为a 0 +a 2 +a 4 +…+a 10 =
.
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