设函数y=f（x）对任意的实数x，都有 f(x)= 1 2 f(x-1) ，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x 2

（1）∵f（x）=
1
2 f(x-1) ，
设x∈[1，2]，则0≤x-1≤1，
∴f（x）=
1
2 f(x-1) =
27
2 （x-1） ² （2-x）．
（2）设x∈[n，n+1]，则0≤x-n≤1，
f（x-n）=27（x-n）（n+1-x），
∴f（x）=
1
2 f(x-1) =
1
2 2 (x-2) =
1
2 3 (x-3) =…=
1
2 n (x-n) =
27
2 n （x-n） ² （n+1-x），
∴y=f（x），x∈[0，+∞]．
f（x）=
27
2 n (x-n ) 2 (n+1-x) ，x∈[n，n+1]，n∈N．
∴f′（x）=
27
2 n [2(x-n)(n+1-x)-(x-n ) 2 ]
=-
27
2 n [3x ² -2（3n+1）x+n（3n+2）]
=-
81
2 n [x ² -2（n+
1
3 ）x+n（n+
2
3 ）]
=-
81
2 n （x-n）[x-（n+
2
3 ）]，
∴问题转化为判断关于x的方程-
81
2 n （x-n）[x-（n+
2
3 ）]=-1在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
即 (x-n)[x-(n+
2
3 )]=-1 在[n，n+1]，n∈N内是否有解，
令g（x）=（x-n）[x-（n+
2
3 ）]-
2 n
81 =x ⁿ -
6n+2
3 x+
3 n 2 +2n
3 -
2 n
81 ，
函数y=g（x）的图象是开口向上的抛物线，
其对称轴是直线x=n+
1
3 ∈[n，n+1]，
判别式 △=(-
6n+2
3 ) 2 -4(
3 n 2 +2n
3 -
2 n
81 ) =
4
9 +
2 n+2
81 ＞0 ，
且g（n）=-
2 n
81 ＜0 ，g（n+1）=
1
3 -
2 n
81 =
27- 2 n
81 ．
①当0≤n≤4，n∈N时，∵g（n+1）＞0，
∴方程 (x-n)[x-(n+
2
3 )]=-1 分别在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，[3，4]，[4，5]上各有一解，
即存在5个满足题意的点P．
②当n≥5（n∈N）时，∵g（n+1）＜0，
∴方程 (x-n)[x-(n+
2
3 )]=-1 在区间[n，n+1]，n∈N，n≥5上无解．
综上所述，满足题意的点P有5个．
（3）由（2）知f′（x）=-
81
2 n （x-n）[x-（n+
2
3 ）]，
∴当x∈（n，n+
2
3 ）时，f′（x）＞0，f（x）在（n+
2
3 ，n+1）上递减，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N时，f（x） _max =f（n+
2
3 ）=
1
2 n-1 ，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，
∴对任意的n∈N ^* ，当x _n ∈[n，n+1]时，都有0 ≤f( x n )≤
1
2 n-1 ，
∴S _n =f（x ₁ ）+f（x ₂ ）+…+f（x _n ）
≤
1
2 -1 +
1
2 0 +
1
2 +
1
2 2 +…+
1
2 n-2
=4-
1
2 n-1 ＜4，
∴0≤S _n ＜4．