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f(x) |
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(1)由题设,令x=y=0,
恒等式可变为f(0+0)=f(0)f(0),
解得f(0)=1,
(2)令y=-x,则 由f(x+y)=f(x)f(y)得
f(0)=1=f(x)f(-x),即得f(−x)=−
1
f(x).
(3)任取x1<x2,则x2-x1>0,
由题设x>0时,f(x)>1,可得f(x2-x1)>1,
f(x2)=f(x1)f(x2-x1)⇒f(x2)÷f(x1)=f(x2-x1)>1,
又f([1/2]x1+[1/2]x1)=f([1/2]x1)f([1/2]x1)=f 2([1/2]x1)≥0⇒f(x1)≥0,
故有f(x2)>f(x1)
所以 f(x)是R上增函数.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考点是抽象函数及其应用,考查用赋值法求函数值证明函数的奇偶性,以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性,此类题要求答题者有较高的数学思辨能力,能从所给的条件中组织出证明问题的组合来.
1年前
定义已知定义在[-1,1]上的函数f(x)满足下列两个条件:
1年前2个回答
1年前2个回答
1年前1个回答
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1年前3个回答
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