已知函数f(x)=x2 2alnx,若函数f(x)的图像在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值

（Ⅰ）f′(x)=2x
2a
x
=
2x2 2a
x
…（1分）
由已知f'（2）=1,解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0, ∞）．
（1）当a≥0时,f'（x）＞0,f（x）的单调递增区间为（0, ∞）；  …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)=
2(x
-a
)(x-
-a
)
x
．
当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下：
x(0,
-a
)
-a
(
-a
, ∞)
f'（x）-0
f（x）极小值
由上表可知,函数f（x）的单调递减区间是(0,
-a
)；
单调递增区间是(
-a
, ∞)．…（8分）
（III）由g(x)=
2
x
x2 2alnx得g′(x)=-
2
x2
2x
2a
x
,…（9分）
由已知函数g（x）为[1,2]上的单调减函数,
则g'（x）≤0在[1,2]上恒成立,
即-
2
x2
2x
2a
x
≤0在[1,2]上恒成立．
即a≤
1
x
-x2在[1,2]上恒成立．…（11分）
令h(x)=
1
x
-x2,在[1,2]上h′(x)=-
1
x2
-2x=-(
1
x2
2x)＜0,
所以h（x）在[1,2]为减函数.h(x) min=h(2)=-
7
2
,
所以a≤-
7
2
．…（14分）