无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是首项为[1/

解题思路：（1）根据题意，a₅₁=[1/64]是等比数列中的项，求出项数n，根据a_n+2m=a_n成立知，数列为周期数列，周期为2m，求出m的值．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+

m(m−1)

2

(−2)+

1 2 (1−( 1 2 )m)

1− 1 2

]+10+8+6+4+4，可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(

1

2

)m≥2013，设f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(

1

2

)m，则g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），在m=-5或6时取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，所以存在这样的m=6使得S_128m+5≥2013(m≥3

，

m∈N*)．

（1）等差数列通项公式：a_n=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比数列通项公式：a_n=
1
2•(
1
2)n−m−1＝(
1
2)n−m，
由题意知a51＝
1
64是等比数列中的项，
在等比数列中，令(
1
2)n−m=[1/64]，
解得n-m=6，n=m+6，
对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立，a51＝
1
64，
∴m+6=51，或m+6+2m=51，或m+6+4m=51，
∴m=45，15或9，
即m的取值集合为 {45，15，9}．
（2）由S_128m+5=64S_2m+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=64[10m+
m(m−1)
2(−2)+

1
2(1−(
1
2)m)
1−
1
2]+10+8+6+4+4，
可得S_128m+5=704m-64m²+94-64•(
1
2)m≥2013，
设f（m）=704m-64m²，g（m）=1914+64•(
1
2)m，则g（m）＞1914；f（m）=-64（m²-11m），
存在m=-5或6时取最大f（x）_max=f（-5）=f（6）=1920，
所以存在这样的m=6，使得S_128m+5≥2013(m≥3
，m∈N*)，
因此m的取值集合为{6}．
故答案为：{45，15，9}；{6}．

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了数列的概念，考查了等差、等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．