吾橙
幼苗
共回答了17个问题采纳率:76.5% 举报
已知抛物线y=
![](https://img.yulucn.com/upload/8/52/8522e504546e4a107ad07070b9ef529d_thumb.jpg)
。
(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D;
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。
(1)
![](https://img.yulucn.com/upload/7/4e/74e7d594929b47887fe3e38b9ae17d71_thumb.jpg)
,
∵不管m为何实数,总有(m-2)
2 ≥0,
∴
![](https://img.yulucn.com/upload/0/e4/0e4d5ee0d7cf9c1f5089be293813b9b4_thumb.jpg)
>0,
∴无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=3,
∴m=3,
抛物线的解析式为
![](https://img.yulucn.com/upload/d/b5/db58210e8744d38266a61e2b5e59e324_thumb.jpg)
,顶点C坐标为(3,-2),
解方程组
![](https://img.yulucn.com/upload/6/03/603b0a91d607adecabe4d40fee2ebda0_thumb.jpg)
,解得
![](https://img.yulucn.com/upload/9/ed/9ed1e10827fe6f5be2227e7dcdc01028_thumb.jpg)
或
![](https://img.yulucn.com/upload/9/ed/9ed1e10827fe6f5be2227e7dcdc01028_thumb.jpg)
,所以A的坐标为(1,0)、B的坐标为(7,6),∵x=3时y=x-1=3-1=2,
∴D的坐标为(3,2),
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3,0),所以AE=BE=3,DE=CE=2,
①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形,则AP、CD互相垂直平分且相等,于是P与点B重合,但AP=6,CD=4,AP≠CD,故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形;
②(Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,
则直线CD的解析式为x=3+n,直线CD与直线y=x-1交于点M(3+n,2+n),
又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),
∴D通过向下平移4个单位得到C,
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形,
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,
∴M向下平移4个单位得N,
∴N坐标为(3+n,n-2),
又N在抛物线
![](https://img.yulucn.com/upload/e/8a/e8a244b5934b777bb9f682b1e6c1a503_thumb.jpg)
上,
∴
![](https://img.yulucn.com/upload/8/ac/8ac959f1ce0b2c7d89975fd79ffcbd18_thumb.jpg)
,解得
![](https://img.yulucn.com/upload/f/18/f187c07d1f66027a2562033137729b69_thumb.jpg)
(不合题意,舍去),
![](https://img.yulucn.com/upload/e/5d/e5d32067ce92374401267081c8a68e84_thumb.jpg)
;
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,
∴N坐标为(3+n,n+6),
又N在抛物线
![](https://img.yulucn.com/upload/1/3e/13e7b2eac29c35b8924b989ce4988257_thumb.jpg)
上,∴
![](https://img.yulucn.com/upload/5/79/5791e57e75ed364328692c31c3cc10e9_thumb.jpg)
,解得
![](https://img.yulucn.com/upload/b/ee/beef670e91b5400f808da0554921ecc9_thumb.jpg)
(不合题意,舍去),
![](https://img.yulucn.com/upload/4/40/440b5fbd38932dc44f4bc7df3a2544cc_thumb.jpg)
;
(Ⅱ)设直线CD向左平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,
则直线CD的解析式为x=3-n,直线CD与直线y=x-1交于点M(3-n,2-n),
又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,-2),
∴D通过向下平移4个单位得到C,
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,
∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形;
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,
∴M向下平移4个单位得N,
∴N坐标为(3-n,-2-n),
又N在抛物线
![](https://img.yulucn.com/upload/c/01/c0150626873fc83df56a98fd2c12795c_thumb.jpg)
上,
∴
![](https://img.yulucn.com/upload/0/aa/0aa512e558a17a7c2afbd62adbb2b8e6_thumb.jpg)
,解得
![](https://img.yulucn.com/upload/4/59/459b54c1311e319144b43d3179d3839f_thumb.jpg)
(不合题意,舍去),
![](https://img.yulucn.com/upload/f/f4/ff42a3c23478c03e4ec6593b8ecaa075_thumb.jpg)
(不合题意,舍去);
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,
∴M向上平移4个单位得N,
∴N坐标为(3-n,6-n),
又N在抛物线
![](https://img.yulucn.com/upload/a/12/a1237a691642a5d2c59dcbcb479bb4a7_thumb.jpg)
上,
∴
![](https://img.yulucn.com/upload/1/7c/17c2168c369a592ec2840159b721231e_thumb.jpg)
,解得
![](https://img.yulucn.com/upload/3/85/3857eb5c0f8f40f2c678df2b7b27bdcf_thumb.jpg)
,
![](https://img.yulucn.com/upload/a/88/a88c102d8d130c722914432ef1ba4117_thumb.jpg)
(不合题意,舍去),
综上所述,直线CD向右平移2或(
![](https://img.yulucn.com/upload/1/16/11675188e64c71eb749f3101009e1932_thumb.jpg)
)个单位或向左平移(
![](https://img.yulucn.com/upload/6/e5/6e5156c3c7cd3c6b94ad0b21d4cdc9c9_thumb.jpg)
)个单位,可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。
1年前
3