伏龙芝 幼苗
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(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,
所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.
所以四边形MNCD是平行四边形,…(2分)
所以NC∥MD,…(3分)
因为NC⊄平面MFD,所以NC∥平面MFD.…(4分)
(Ⅱ)证明:连接ED,设ED∩FC=O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,
所以NE⊥平面ECDF,…(5分)
因为FC⊂平面ECDF,
所以FC⊥NE.…(6分)
又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以 FC⊥ED.…(7分)
所以FC⊥平面NED,…(8分)
因为ND⊂平面NED,
所以ND⊥FC.…(9分)
(Ⅲ)设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.
由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为VNFEC=
1
3S△EFC•NE=
1
2x(4−x). …(11分)
所以VNFEC≤
1
2[
x+(4−x)
2]2=2. …(13分)
当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大. …(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
考点点评: 本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,考查基本不等式的运用,掌握线面平行,线面垂直的判定方法,正确表示四面体NFEC的体积是关键.
1年前