（2014•聊城二模）已知函数f（x）=ex（e=2.71828…是自然对数的底数），x∈R．

解题思路：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=

ex

x2

（x＞0），利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)−f(a)

b−a

=

(b−a+2)+(b−a−2)eb−a

2(b−a)

ea，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

（Ⅰ）设切线方程为y=kx，切点为（x₀，y₀），则

kx0＝ex0
k＝ex0
∴x₀=1，k=e，
∴函数y=f（x）的图象过原点的切线方程为y=ex；
（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx²，化为m=
ex
x2，
令h（x）=
ex
x2（x＞0），则h′（x）=
ex(x−2)
x3，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h（2）=
e2
4．
∴当m∈（0，
e2
4）时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为0；
当m=
e2
4时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为1；
当m＞
e2
4时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点个数为2．
（Ⅲ）证明：
f(a)+f(b)
2＞
f(b)−f(a)
b−a=
(b−a+2)+(b−a−2)eb−a
2(b−a)ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴
(b−a+2)+(b−a−2)eb−a

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．