在正方形ABCD中,作∠EAF=45°,且角的一边与直线CB交与点E,另一边于∠DCB的外角平分线交与点F过点F做FG⊥
在正方形ABCD中,作∠EAF=45°,且角的一边与直线CB交与点E,另一边于∠DCB的外角平分线交与点F过点F做FG⊥BC与点G.求证CD等于GF加EC.
F在BC，CD上滑动
F在BC，CD上滑动
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分析：△CGF是等腰直角三角形,GF=CG,
ABCD是正方形,CD=BC.只需证得BE=CG,由BC=BE+EC=CG+EC,则原命题得证.
证明：连接AC、DG,由∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°得两直角三角形△ACF及△DCG,
∵其直角边AC/DC=√2,CF/CG=√2,
∴△ACF∽△DCG且相似比为√2；
又∵∠EAF=45°,∠BAC=45°,∴∠BAE=∠CAF,又AC/AB=√2,
得△ACF∽△ABE且相似比为√2,从而△ABE≌△DCG,BE=CG.
由GF=CG,CD=BC,代换后得CD=BC=BE+EC=CG+EC=GF+EC.
ABCD是正方形,CD=BC.只需证得BE=CG,由BC=BE+EC=CG+EC,则原命题得证.
证明：连接AC、DG,由∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°得两直角三角形△ACF及△DCG,
∵其直角边AC/DC=√2,CF/CG=√2,
∴△ACF∽△DCG且相似比为√2；
又∵∠EAF=45°,∠BAC=45°,∴∠BAE=∠CAF,又AC/AB=√2,
得△ACF∽△ABE且相似比为√2,从而△ABE≌△DCG,BE=CG.
由GF=CG,CD=BC,代换后得CD=BC=BE+EC=CG+EC=GF+EC.
1年前
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