设函数f(x)＝alnx+ax22−2x，a∈R．

解题思路：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数f（x）在区间[1，e]上单调递增；
（2）求导函数，再分类讨论．分a＜0、a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函数的单调区间．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f（x）=1nx+
x2
2-2x，因为f′（x）=[1/x]+x-2=
(x−1)2
x≥0，
所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
则当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）=1+
e2
2-2e．
（2）求导函数，可得f′（x）=
ax2−2x+a
x．
当a=0时，因为f′（x）=-2＜0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当a＞0时，
①当△=4-4a²≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…（9分）
②当△=4-4a²＞0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＞0解得，0＜x＜
1−
1−a2
a，或x＞
1+
1−a2
a．
由f′（x）＜0解得
1−
1−a2
a＜x＜
1+
1−a2
a．
所以当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（0，
1−

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确利用导数是关键．