关于泰勒级数我有一个疑问,书上说的是,在x0的某领域内,具有n+1阶的导数,如果余项趋近于0,则对于任意的x属于x0的这

我再补充两句吧。 1. f(x)=sum a_n(x-x0)^n = sum a_n [(x-y0)+(y0-x0)]^n 用二项式定理展开[(x-y0)+(y0-x0)]^n，再把级数重新按(x-y0)^k排列就得到以y0为中心的Taylor级数，交换性是由收敛域内的绝对收敛性保证的。这样可以不借助复解析函数来得到结论，而且此证明同样适用于复级数。 2. 关于收敛半径的分歧，这个不是很本质的问题，不过我需要解释一下，否则有些话确实容易造成误解。 通常幂级数sum a_n(x-x0)^n的收敛半径确实是由Cauchy-Hadamard公式所定义的那个。 而函数f(x)在x0点的Taylor展开式的收敛半径可以定义成使得f(x)=sum a_n(x-x0)^n成立的半径的上确界，此时收敛半径已经不是幂级数本身的性质了，还和f(x)相关。 第二个概念好像确实用得不多，不过我一直用的是这个概念，所以不解释一下会有问题。 对于解析函数而言这两种途径得到的收敛半径R是一致的（因为解析性已经蕴含了R>0），对于光滑的非解析实函数会有差异，所以对于e^{-1/x^2}这个函数我和德洛伊弗得到的收敛半径有区别。 至于"f(x)的Taylor级数在收敛半径内部收敛到f"。根据我所使用的那个“收敛半径”的含义，这种情况下肯定是Taylor级数一定是收敛到f本身的。 如果采用幂级数固有的收敛半径定义，也存在收敛半径为0的例子，这时候除了展开的中心点之外Taylor级数是发散的，也就谈不上收敛到原来的函数了。事实上任何序列都可以作为某光滑实函数在某点的高阶导数序列，不过这个构造比较麻烦，了解一下结论就行了。

第一问是对的 第二问你显然没有理解我说的话，慢慢看几遍，不要急。 对于收敛半径和收敛域的问题，看看我写的两个定义，这两个定义对于光滑的非解析实函数是不同的，先想清楚你想要的是什么。 光滑的实函数和解析函数是有本质区别的，粗略得讲光滑函数是可以改动一些定义的，也可以把局部光滑的函数逐段拼接起来，甚至可以把不光滑的函数磨光，但是解析函数是不能随意修改定义域内的函数值的，任何局部都决定了一切。再给你一个简单的例子。 在(-2,1/2)上f(x)=1/(1-x)，区间外随便定义，那么f(x)在x=0的邻域内可以Taylor展开，且在(-2,1/2)上收敛，幂级数固有的收敛半径(第一个定义)是1，但是作为收敛到原来的函数的收敛半径(第二个定义)是1/2。想清楚你具体要的是什么，不要背结论或者直接套公式。

这次的理解大体上是对的。 如果形式上对f(x)做Taylor展开sum an(x-x0)^n，那么Cauchy-Hadamard公式得到的收敛半径表明了幂级数g(x)=sum an(x-x0)^n可能收敛的最大范围，接下去只需要比较一下f(x)=g(x)的范围就能得到Taylor展开式有效的区域。一般来讲解析函数是不会出什么问题的，会出问题的实函数粗略地讲本质上都是分段函数。 另外，我给的第二个定义并不是很流行，使用这样的术语的时候需要解释一下，比如这次德洛伊弗就误解了我的意思。