已知数列{an}的通项公式为an＝8n(4n2−1)2，Sn为其前n项的和，计算S1，S2，S3的值，根据计算结果，推测

解题思路：根据数列的前n项和与第n项的关系，计算S₁，S₂，S₃的值，猜测 S_n =

(2n+1)2−1

(2n+1)2

．①检验当n=1时，猜测的等式成立，②假设n=k时，猜测成立，在此基础上，证明当n=k+1时，猜测仍然成立，从而得出结论．

S₁=a₁=[8/9]，S₂=a₁+a₂=[24/25]，S₃的=S₂ +a₃=[48/49]．
猜测 S_n =
(2n+1)2−1
(2n+1)2．
证明：①当n=1时，由以上可知，猜测成立．
②假设n=k时，猜测成立，即 S_K=
(2k+1)2−1
(2k+1)2．
则n=k+1时，S_K+1=S_K+a_k+1=
(2k+1)2−1
(2k+1)2+
8(k+1)
[4(k+1)2−1]2
=
(2k+1)2−1
(2k+1)2+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2=
[(2k+1)2−1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+3)2−1
(2k+1)2(2k+3)2=
[2(k+1)+1 ]2−1
(2k+1)2(2k+3)2．
故当n=k+1时，猜测仍然成立．
综合①②可得，猜测对任意的正整数都成立．

点评：
本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，用数学归纳法证明等式，注意利用假设，并注意从n=k到n=k+1项的变化，属于中档题．