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幼苗
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设特征多项式C(x)=x^k+C1x^(k-1)+...+C(k-1)x+C(k)的根为{r1,r2,.,rk}
这里P(x)=a1x+(a1c1+a2)x²+.+(a1c(k-1)+a2c(k-2)+.a(k-1)c1+ak)x^k
其中a1,a2,...,ak是数列an的初始条件值
然后母函数G(x)=P(x)/(1+C(1)x+...+C(k)x^k)=P(x)/[(1-r1x)(1-r2x)...(1-rkx)]
则可将有理函数G(x)分解为A1/(1-r1x)+.+Ak/(1-rkx)
其中A1,A2.Ak的求法可以设G(x)=A1/(1-r1x)+.+Ak/(1-rkx),
则A1/(1-r1x)+.+Ak/(1-rkx)=P(x)/[(1-r1x)(1-r2x)...(1-rkx)],等式两边同乘(1-r1x)
得A1+A2(1-r1x)/(1-r2x)+.+Ak(1-r1x)/(1-rkx)=P(x)/[(1-r2x)...(1-rkx)],然后再令x=1/r1
得A1=P(1/r1)/[(1-r2/r1)...(1-rk/r1)],类似等式两边同乘(1-rix),然后再令x=1/ri,便可得Ai
然后利用1/(1-rx)=1+rx+(rx)²+...,将G(x)中每一项写成这种形式
整理后便可以求得G(X)=f(0)+f(1)x+f(2)x²+.f(n)x^n+.
其中x^n的系数f(n)=A1(r1)^n+A2(r2)^n+...+Ak(rk)^n便为an的通项公式
即an=A1(r1)^n+A2(r2)^n+...+Ak(rk)^n
1年前
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