（2013•南开区一模）已知函数f（x）=x3-3ax（x∈R）．

解题思路：（I）求导函数，确定函数的单调性，即可求得f（x）的极小值；
（II）分类讨论，利用分离参数法，求出函数的最值，即可求a的取值范围；
（III）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．对a分类讨论，确定函数的解析式与单调性，即可求得最值．

（I）当a=1时，f′（x）=3x²-3
令f′（x）=0，可得x=±1
∴当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]、[1，+∞）上单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=-2；
（II）由已知x³-3ax≥3ax²，x=0时显然成立；
x≠0时，有3a≤
x2
x+1对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
当x∈（0，+∞）时，
x2
x+1=（x+1）+[1/x+1]-2∈[0，+∞）
∴3a≤0
∴a的取值范围是（-∞，0]；
（III）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故求g（x）的最大值F（a）的解析式，只需求在[0，1]上的最大值．
（1）当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a；
（2）当a＞0时，f′（x）=3x²-3a=3（x+
a）（x-
a）
①当
a≥1，即a≥1时，g（x）=-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1；
②当0＜
a＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，
a]上单调递减，在[
a，1]上单调递增
1°当f（1）=1-3a≤0，即
1
3≤a＜1时，g（x）=-f（x），-f（x）在[0，

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，难度较大．