一道求极限的数学题limit x->∞ √(x^2 -5x+1)-x 结果为什么是-5/2

雪娆 1年前 已收到4个回答 举报
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cpy393 幼苗

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分子有一晔得
原式=lim(x→∞) [√(x^2-5x+1)-x][√(x^2-5x+1)+x]/[√(x^2-5x+1)+x]
=lim(x→∞) [(x^2-5x+1)-x^2]/[√(x^2-5x+1)+x]
=lim(x→∞) -5x/[√(x^2-5x+1)+x]
=lim(x→∞) -5x/[√(x^2)+x]
=-5/2

1年前 追问

3

雪娆 举报

第三步骤和第四步骤我有点没搞懂，第三步骤的分子不应该是-5x-1么？第四步骤的分母为什么可以直接化成√（x^2)+x ?

举报 cpy393

其实→∞的极限只与最高次项有关，就是这个

tinyboylu 幼苗

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1年前

2

baoming 幼苗

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应该是用到了渐近线之类的，即当 x→∞ 时逼近什么什么的
√(x^2-5x+1)=√((x^2-5x+25/4)-25/4)=√((x-5/2)^2(1-25/4*1/(x-5/2)^2))
=(x-5/2)*√(1-25/4*1/(x-5/2)^2))
渐近线是 x-5/2
因此 √(x^2-5x+1)-x 会渐近 -5/2

1年前

2

叫room不是叫床 幼苗

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原式
=lim{[根号(x^2-5x+1)-x][根号(x^2-5x+1)+x]/[根号(x^2-5x+1)+x]}
=lim{[(x^2-5x+1)-x^2]/[根号(x^2-5x+1)+x]}
=lim{(1-5x)]/[根号(x^2-5x+1)+x]}
=lim{(1/x-5)]/[根号(1-5/x+1/x^2)+1]} (分子分母同除x)
=-5/(1+1)
=-5/2

1年前

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