设A,B,C是三角形的三个内角,λ是非负实数

设A,B,C是三角形的三个内角,λ是非负实数
求√﹙tanB/2*tanC/2 + λ﹚ + √﹙tanC/2*tanA/2 + λ﹚ + √﹙tanA/2*tanB/2 + λ）的最大值
好像要用琴生不等式
liuchao214 1年前 已收到1个回答 举报
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风味醉虾 幼苗

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首先你要知道,三角形ABC中,
tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
(证明过程可自行百度)
于是问题就简单了
根据均值不等式 (a+b+c)/3 ≤ √[(a²+b²+c²)/3]
可得 原式≤ 3√[(1+3λ)/3] = √(3+9λ)
当且仅当 三个根号相等即A=B=C=60°时取等号.
完毕.

1年前 追问

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liuchao214 举报

你确定(a+b+c)/3 ≤ √[(a²+b²+c²)/3]是均值不等式吗 还有用琴生不等式能证吗

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当然是 算术平均数小于等于平方平均数 琴生不等式同理 令f(x) = √x ，为凸函数 则有 [ f(x₁)+f(x₂)+f(x₃) ] / 3 ≤ f [ (x₁+x₂+x₃) /3 ] 其中 x₁ = tanB/2*tanC/2 + λ x₂ = tanC/2*tanA/2 + λ x₃ = tanA/2*tanB/2 + λ
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