垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x 3 +3x 2 -1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积
| 垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x 3 +3x 2 -1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______． |
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设直线l的方程为y=-3x+m，切点为（n，n 3 +3n 2 -1），
则由题意可得3n 2 +6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
直线l的方程为y=-3x-2，
∴直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是
∫ 0-1 [( x 3 +3 x 2 -1)-(-3x-2)]dx =
∫ 0-1 (x+1 ) 3 dx =
1
4 (x+1
) 4 | 0-1 =
1
4
故答案为：
1
4
则由题意可得3n 2 +6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
直线l的方程为y=-3x-2，
∴直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是
∫ 0-1 [( x 3 +3 x 2 -1)-(-3x-2)]dx =
∫ 0-1 (x+1 ) 3 dx =
1
4 (x+1
) 4 | 0-1 =
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故答案为：
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1年前
3
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