（2014•上海模拟）在正数数列{an}中，Sn为an的前n项和，若点（an，Sn）在函数y=c2−xc−1的图象上，其
（2014•上海模拟）在正数数列{an}中，Sn为an的前n项和，若点（an，Sn）在函数y=
的图象上，其中c为正常数，且c≠1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
，当c=2的时候，是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由；
（3）设数列{cn}满足cn=
，k∈N*，当c=
时候，在数列{cn}中，是否存在连续的三项cr，cr+1，cr+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数r的值；若不存在，说明理由．
| c2−x |
| c−1 |
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=
| n2 nan+2 |
| 2n+1 |
（3）设数列{cn}满足cn=
|
| ||
| 3 |
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解题思路：（1）利用点（an，Sn）在函数y=
的图象上，可得Sn=
，再写一式，两式相减，可得数列{an}为等比数列，求出a1=c，即可求数列{an}的通项公式；
（2）bn=
=[n/2n+1]，若b1，bm，bn成等比数列，则(
)2＝
•
，化简，即可求出所有的m、n的值；
（3）分类讨论，若cr=c2k，不成立；若cr=c2k-1，可得k=3k-1，令Tk=
，则Tk+1-Tk=
＜0，即可得出结论．
| c2−x |
| c−1 |
| c2−an |
| c−1 |
（2）bn=
| n2 nan+2 |
| 2n+1 |
| m |
| 2m+1 |
| 1 |
| 3 |
| n |
| 2n+1 |
（3）分类讨论，若cr=c2k，不成立；若cr=c2k-1，可得k=3k-1，令Tk=
| k |
| 3k−1 |
| 1−2k |
| 3k |
（1）∵点（an，Sn）在函数y=
c2−x
c−1的图象上，
∴Sn=
c2−an
c−1，
n≥2时，Sn-Sn-1=an=
an−1−an
c−1，
∴（c-1）an=an-1-an，
∴
an
an−1=[1/c]
∴数列{an}为等比数列2分
将（a1，S1）代入y=
c2−x
c−1得，a1=c 3分
故an=(
1
c)n−24分
（2）bn=
n2 nan+2
2n+1=[n/2n+1]．
若b1，bm，bn成等比数列，则(
m
2m+1)2＝
1
3•
n
2n+1
可得[3/n＝
−2m2+4m+1
m2]
∴-2m2+4m+1＞0，解得：1-
6
2＜m＜1+
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题考查数列与函数的综合，考查等比数列的判断，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
1年前
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