设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi=Xi-.X，i=1，2，

解题思路：（I）先将Yi表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；（II）求Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn），本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；（III）估计c(Y1+Yn)2，利用其数学期望等于σ2确定c即可．

由题设，知：X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，
且：EXi＝0，DXi＝σ2(i＝1，2，…，n)，E
.
X＝0，

（I）
由方差的性质可得：
DYi＝D(Xi−
.
X)＝D[(1−
1
n)Xi−
1
n
n

j≠iXj]=(1−
1
n)2DXi+
1
n2
n

j≠iDXj
=
(n−1)2
n2σ2+
1
n2•(n−1)σ2＝
n−1
nσ2．

（II）
由协方差的计算公式以及数学期望的性质可得，
Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]=E(Y1Yn)＝E[(X1−
.
X)(Xn−
.
X)]
=E(X1Xn−X1
.
X−Xn
.
X+
.
X2)=E(X1Xn)−2E(X1
.
X)+E
.
X2
=0−
2
nE[
X21+
n

j＝2X1Xj]+D
.
X+(E
.
X)2
=−
2
nσ2+
1
nσ2＝−
1
nσ2．

（III）
由无偏估计的定义可得：
E[c(Y1+Yn)2]＝cD(Y1+Yn)=c[DY₁+DY₂+2Cov（Y₁，Y_n）]=c[
n−1
n+
n−1
n−
2
n]σ2＝
2(n−2)
ncσ2＝σ2，
故：c＝
n
2(n−2)．

点评：
本题考点： 无偏估计；方差的计算公式；计算协方差的简单公式．

考点点评： 本题考查了方差与协方差的计算以及无偏估计的概念，题目难度系数不大，是一个基础型题目．