如图，已知点F为抛物线C1：y2=4x的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线C1于A，C，B，D四

（Ⅰ）∵F为抛物线C₁：y²=4x的焦点，∴F（1，0），
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），当直线AC的斜率为2时，
直线AC的方程为x=[1/2y+1，
代入抛物线C₁的方程，得y²-2y-4=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2，∴x1+x2=(
1
2y1+1)+(
1
2y2+1)=3，
∴AC的中点坐标E（
3
2]，1），
由AC⊥BD，得直线BD的方程为x=-2y+1，
同理，得BD的中点坐标为G（9，-4），
由E（[3/2，1），G（9，-4）得直线EG的方程为2x+3y-6=0．
（Ⅱ）直线EG过定点（3，0），设A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
直线AC的方程为x=my+1，代入抛物线C₁的方程，得y²-4my-4=0，
则y₃+y₄=4m，
∴x3+x4=my3+1+my4+1=4m2+2，
∴AC的中点坐标为E（2m²+1，2m），
由AC⊥BD，得BD的中点坐标为G（
2
m2+1，-
2
m]），
令2m²+1=[2
m2+1，得m²=1，此时2m²+1=
2
m2+1=3，
故直线过点H（3，0），
当m²≠1时，kHE=
2m-0
2m2+1-3=
m
m2-1，
同理kHG=
-
2/m-0

2
m2+1-3]=[m
m2-1，
∴k_HE=k_HG，
∴E，H，G三点共线，
故直线过定点H（3，0）．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线方程的求法，考查直线是否过定点坐标的判断与求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．

1年前

回答问题