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(1)设OA=a,则点A的坐标(0,a),
∵tan∠ACB=[OA/OC]=[1/2],
∴OC=2OA=2a,
∴BC=OB+OC=4+2a,
∵BC=2AB,
∴AB=2+a.
在Rt△OAB中,∵∠AOB=90°,
∴AB2=OA2+OB2,即(a+2)2=a2+42,
解得a=3,
∴A(0,3);
(2)过点A作AG⊥AB,交BC于G.
在Rt△GAB中,∵∠GAB=90°,
∴AG=AB•tan∠B=5×[3/4]=[15/4],
BG=[AB/cos∠B]=[5
4/5]=[25/4],
∴CG=BC-BG=10-[25/4]=[15/4].
∵点P从C点出发,沿线段CB以5个单位/秒的速度向终点B匀速运动,点P的运动时间为t秒,
∴0≤5t≤10,
∴0≤t≤2.
∵P与G重合时,E、F、A三点重合,此时EF的长y=0,与已知矛盾,
∴t≠[CG/5]=
15
4
5=[3/4].
分两种情况讨论:
①当0≤t<[3/4]时,如图2.
∵AG∥EP,
∴△ABG∽△EBP,
∴[AG/EP]=[BG/BP],
15
4
y+FP=
25
4
10-5t,
解得FP=6-3t-y.
∵FP∥AG,
∴△CFP∽△CAG,
∴[FP/AG]=[PC/CG],
∵AG=CG=[15/4],
∴FP=PC,即6-3t-y=5t,
∴y=6-8t;
②当[3/4]<t≤2时,如图3.
∵AG∥FP,
∴△ACG∽△FCP,
∴[AG/FP]=[CG/CP],
∵AG=CG=[15/4],
∴FP=CP,即y+PE=5t,
∴PE=5t-y.
∵PE∥AG,
∴△BEP∽△BAG,
∴[PE/AG]=[BP/BG],[5t-y
15/4]=[10-5t
25/4],
∴y=8t-6.
综上所述,y=
6-8t (0≤t<
3
4)
8t-6 (
3
4<t≤2);
(3)分两种情况讨论:
①当0≤t<[3/4]时,过Q作QM⊥OB于M,过F作FN⊥BC于N,如图4.
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形,∵∠FQD<∠AQD<∠AQO=∠EAC<90°,
∴∠QDF=90°.
∵OQ∥AC,
∴△OBQ∽△CBA,
∴[BQ/BA]=[BO/BC],即[BQ/5]=[4/10],
∴BQ=2.
在Rt△BQM中,QM=BQ•sin∠B=2×[3/5]=[6/5],BM=BQ•cos∠B=2×[4/5]=[8/5].
∴DM=BD-BM=5-[8/5]=[17/5],
由(2)知FN=FP•sin∠FPN=CP•sin∠OAB=5t•[4/5]=4t,
∴CN=2FN=8t,DN=CD-CN=5-8t.
∵∠FND=∠DMQ=90°,∠FDN=∠DQM=90°-∠QDM,
∴△DNF∽△QMD,
∴[DN/QM]=[FN/DM],
∴[5-8t
6/5]=[4t
17/5],
解得t=[17/32];
②当[3/4]<t≤2时,过Q作QM⊥OB于M,过F作FN⊥BC于N,FG⊥QM于G,如图5.
若△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形,∵∠FDQ<∠ADQ<∠ADB<90°,
∴∠FQD=90°.
∵GM=FN=4t,
∴GQ=GM-QM=4t-[6/5],GF=MN=BC-BM-CN=10-[8/5]-8t=[42/5]-8t,
∵∠FGQ=∠QMD=90°,∠FQG=∠QDM=90°-∠DQM,
∴△FGQ∽△QMD,
∴[FG/QM]=[GQ/MD],
∴
42
5-8t
6
5=
4t-
6
5
17
5,
解得t=[15/16].
综上所述,当t=[17/32]或t=[15/16]时,△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形.
点评:
本题考点: 相似形综合题.
考点点评: 本题主要考查了锐角三角函数的定义,勾股定理,解直角三角形,相似三角形的判定与性质等知识,综合性较强,难度较大.运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.
1年前
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