（2010•东城区一模）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝12，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥1），数列

解题思路：（Ⅰ）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a_n}的通项公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n=2ⁿ．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

++

1

bn−1

＜

m−8

4

恒成立，由此能导出m的最小值．
（Ⅲ）当n是奇数时，Tn＝[

1

a1

+

1

3a3

++

1

nan

]+(b2+b4++bn−1)，当n是偶数时，Tn＝[

1

a1

+

1

3a3

++

1

(n−1)an−1

]+(b2+b4++bn)，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）因为S_n=n²a_n（n≥1），
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1．
所以a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1．
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1．
即
an
an−1＝
n−1
n+1．
又a1＝
1
2，
所以an＝
an
an−1•
an−1
an−2•
an−2
an−3••
a3
a2•
a2
a1•a1=[n−1/n+1•
n−2
n•
n−3
n−1••
2
4•
1
3•
1
2]=[1
n(n+1)．
当n=1时，上式成立
因为b₁=2，b_n+1=2b_n，
所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，故b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ．
则1+
1
b1+
1
b2++
1
bn−1＝1+
1/2+
1
22++
1
2n−1＝2−
1
2n−1]．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+
1
b1+
1
b2++
1

点评：
本题考点： 数列的应用；数列的求和．

考点点评： 本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．