已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B

（Ⅰ）设椭圆的方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 ，
∵椭圆的离心率为 e=

3
2 ，
∴a ² =4b ² ，
又∵M（4，1），
∴
16
a 2 +
1
b 2 =1 ，解得b ² =5，a ² =20，故椭圆方程为
x 2
20 +
y 2
5 =1 ．…（4分）
（Ⅱ）将y=x+m代入
x 2
20 +
y 2
5 =1 并整理得
5x ² +8mx+4m ² -20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m） ² -20（4m ² -20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k ₁ 和k ₂ ，只要证明k ₁ +k ₂ =0．
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得： x 1 + x 2 =-
8m
5 ， x 1 x 2 =
4 m 2 -20
5 ．
k 1 + k 2 =
y 1 -1
x 1 -4 +
y 2 -1
x 2 -4 =
( y 1 -1)( x 2 -4)+( y 2 -1)( x 1 -4)
( x 1 -4)( x 2 -4)
上式的分子=（x ₁ +m-1）（x ₂ -4）+（x ₂ +m-1）（x ₁ -4）
=2x ₁ x ₂ +（m-5）（x ₁ +x ₂ ）-8（m-1）
=
2(4 m 2 -20)
5 -
8m(m-5)
5 -8(m-1)=0
所以k ₁ +k ₂ =0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）