已知A,B,C为锐角,满足cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1.求证∠A+∠B+∠C

将其看成cosC的一元二次方程,则可以写成cos²C+2cosAcosBcosC+cos²A+cos²B-1=0.因此cosC=-cosAcosB±√(cos²Acos²B-cos²A-cos²B+1)=-cosAcosB±√[(1-cos²A)(1-cos²B)]=-cosAcosB±√(sin²Asin²B)=-cosAcosB±|sinAsinB|.因为A,B是锐角,所以cosA,sinA,cosB,sinB都是正数.因此cosC=-cosAcosB±sinAsinB.又C也是锐角,所以cosC＞0,cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-cos(A+B)=cos(π-A-B)因为A,B是锐角,所以π-A-B属于(0,π),而cosx在(0,π)内是单值函数,所以C=π-A-B.A+B+C=π