一道数列与不等式题数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/2n设bn=an/n,求证{bn}是等比数列设bn

一道数列与不等式题
数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/2n
设bn=an/n,求证{bn}是等比数列
设bn=an^2/16n^2-an^2 若数列{bn}的前N项和为Tn,求证：Tn

蓝指白狐 1年前已收到2个回答举报

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题目打错了吧,bn恒小于0不需要证.
题目是不是bn=an²/（16n²-an²）?
bn=an²/（4n-an）（4n+an）
=（1/2）（an/（4n-an）-an/（4n+an））
=（1/2）（（1/2）ⁿ/（1-（1/2）ⁿ）-（1/2）ⁿ/（1+（1/2）ⁿ））
=（1/2）（1/（2ⁿ-1）-1/（2ⁿ+1））
＜（1/2）（2/2ⁿ-1/2ⁿ）
=（1/2）（1/2ⁿ）
∴Tn=（1,n）∑（bn）
＜（1,n）∑（（1/2）（1/2ⁿ））
=（1/2）（1-（1/2）ⁿ）
＜（1/2）（1-0）
=1/2
证毕.

1年前追问

蓝指白狐举报

你好是题目打错了，是你这个但=（1/2）（1/（2ⁿ-1）-1/（2ⁿ+1））＜（1/2）（2/2ⁿ-1/2ⁿ）但这一步是怎么放缩的能解析一下么

举报输穷

其实我这搞错了，后面反而缩小了，下面改正一下。 bn=（1/2）（1/（2ⁿ-1）-1/（2ⁿ+1）） =1/（（2²ⁿ）-1） ∵2²ⁿ-1-2^（n+2）＞0（n≥3时满足） ∴2²ⁿ-1＞2^（n+2）（n≥3时满足） ∴bn=1/（2²ⁿ-1）＜1/2^（n+2）=（n≥3时满足） Tn=（1，n）∑bn =1/3+1/15+（3，n）∑bn ＜1/3+1/15+（3，n）∑（（1/2^（n+2）） =1/3+1/15+1/16-1/2^（n+2）＜6/15+1/16 ＜7/15 ＜1/2

simplemore 幼苗

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将an代入bn后化简啊，应该是得到bn=(1-16n²)（1/4）^n，那么bn一直是小于0的，Tn自然就小于1/2啦

1年前

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