设y=y（x）是初始问题y′+a(x)y＝f(x)y(0)＝y0的解，其中a（x），f（x）为连续函数，且∫+∞0a（x

∵y′+a（x）y=f（x）
∴y＝
f(x)
a(x)−
y′
a(x)
已知
lim
x→+∞
f(x)
a(x)=0
∴
lim
x→+∞y(x)＝
lim
x→+∞
f(x)
a(x)−
lim
x→+∞
y′
a(x)=−
lim
x→+∞
y′
a(x)
设
lim
x→+∞y(x)＝−
lim
x→+∞
y′
a(x)＝A，则由极限的定义，知
∀ɛ＞0，∃X＞0，∀x＞X，有|
y′
a(x)+A|＜ɛ，|y（x）-A|＜ɛ
由
∫+∞0a（x）dx=+∞，知x＞X时，a（x）＞0
∴（-A-ɛ）a（x）＜y'＜（-A+ɛ）a（x）
两边从0到+∞取定积分，得
(−A−ɛ)
∫+∞0a(x)dx＜
∫+∞0y′dx＜(−A+ɛ)
∫+∞0a(x)dx
即
(−A−ɛ)
∫+∞0a(x)dx＜
lim
x→+∞y(x)−y0＜(−A+ɛ)
∫+∞0a(x)dx
即
(−A−ɛ)
∫+∞0a(x)dx＜A−y0＜(−A+ɛ)
∫+∞0a(x)dx
再由
∫+∞0a（x）dx=+∞，知若A≠0，则-A-ɛ和-A+ɛ都不为0
∴(−A−ɛ)
∫+∞0a(x)dx＝∞和(−A+ɛ)
∫+∞0a(x)dx＝∞
∴A=0或∞
而A=∞明显不成立
故A=0
即
lim
x→+∞y(x)＝0

点评：
本题考点： 一阶线性微分方程的求解；函数极限存在性的判别和证明综合．

考点点评： 此题的y（x）虽然是一阶非齐次线性微分方程，但却不能用公式将y（x）求出来，再取极限．为了充分利用已知的极限，必须从微分方程里，将y（x）的表达式求出来，再逐步推导．