如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使

过BP中点O，以BP为直径作圆，
连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴[QO/AB]=[CO/AC]，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BP=x，
∴QO=[1/2]x，CO=4-[1/2]x，
∴

1
2x
3=
4−
x
2
5，
解得：x=3，
当P与C重合时，BP=4，
∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4，
故答案为：3≤x≤4．

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等知识，找出当QO⊥AC时，QO最短即BP最短，进而利用相似求出是解决问题的关键．