（2012•浙江模拟）设a∈R，函数f（x）=[x−a/lnx]，F（x）=x．

解题思路：（Ⅰ）求导函数，确定f（x）在（e，+∞）上是增函数，即可比较f（2e+1）与f（3e）的大小；
（Ⅱ）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，即

x−a

lnx

＞

x

在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．分类讨论，利用分离参数法，即可求a的取值集合．

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=[x/lnx]，f′(x)＝
lnx−1
ln2x
当x＞e时，f′（x）＞0，所以f（x）在（e，+∞）上是增函数
而3e=2e+e＞2e+1＞e，
∴f（3e）＞f（2e+1）
（Ⅱ）函数f（x）的图象总在函数F（x）的图象的上方等价于f（x）＞F（x）恒成立，
即
x−a
lnx＞
x在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
①当0＜x＜1时，lnx＜0，则
x−a
lnx＞
x等价于a＞x-
xlnx
令g（x）=x-
xlnx，g′(x)＝
2
x−2−lnx
2
x，
再令h（x）=2
x-2-lnx，h′（x）=

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性及单调区间．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．