已知函数f（x）=2ax-[1x2，x∈（0，1]．

解题思路：（1）已知f（x）在（0，1]上为增函数，所以f′（x）＞0，x∈（0，1]，解出a＞-1，需考虑a=-1的情形．
（2）由（1）得当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，当a＜-1时，利用导数研究函数的单调性求解函数的最值．

（1）由已知可得f′（x）=2a+
2
x3，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）＞0，即a＞-
1
x3，x∈（0，1]．∴a＞-1．
当a=-1时，f′（x）=-2+
2
x3对x∈（0，1）也有f′（x）＞0，
满足f（x）在（0，1]上为增函数，∴a≥-1．
（2）由（1）知，当a≥-1时，f（x）在（0，1]上为增函数，
∴[f（x）]_max=f（1）=2a-1．
当a＜-1时，令f′（x）=0得x=
1

3−a/]，
∵0＜[1

3−a/]＜1，∴0＜x＜[1

3−a/]时，
f′（x）＞0；[1

3−a/]＜x≤1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，[1

3−a/]）上是增函数，
在（[1

3−a/]，1]减函数．
∴[f（x）]_max=f（[1

3−a/]）=-3
3a2
．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性这一函数知识，是教学中的重点和难点，应熟练掌握．

对f(x)求导得f'(x)=2x^-3+2a,x∈(0,1],
若在此区间 是增函数，那么一阶导数必定大于0（严格递增可取等于0，看具体题目要求而定），那么可得2x^-3+2a>0,x∈(0,1],化简得a>-x^-3，要使得此式子成立，a必须大于-x^-3的最大值，即a必须大于x=1时的值，所以a>-1(若题中是严格单调递增函数，可取a>=-1)
f(x)在区间上的最大值为f'(...