已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=ax3-[1/2x−23e]．

解题思路：（1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；
（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为x_°，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；
（3）求出两直线的距离，再令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x-x_°，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，x_°=e，m=-e．

（1）因为f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得x＞
1
e，
所以f（x）的单调增区间为(
1
e，+∞)，
又当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，则f（x）在(0，
1
e)上单调减，
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，则f（x）在(
1
e，+∞)上单调增，
所以f（x）的最小值为f(
1
e)＝−
1
e．
（2）因为f'（x）=lnx+1，g′(x)＝3ax2−
1
2，
设公切点处的横坐标为x_°，
则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx_°+1）x-x_°，
与g（x）相切的直线方程为：y＝(3ax°2−
1
2)x−2ax°3−
2
3e，
所以

lnx°+1＝3ax°2−
1
2
−x°＝−2ax°3−
2
3e，
解之得x°lnx°＝−
1
e，
由（1）知x°＝
1
e，所以a＝
e2
6．
（3）若直线l₁过（e²，2e²），则k=2，此时有lnx_°+1=2（x_°为切点处的横坐标），
所以x_°=e，m=-e，
当k＞2时，有l₂：y=（lnx_°+1）x-x_°，l₁：y=（lnx_°+1）x，且x_°＞2，
所以两平行线间的距离d＝
x°

1+(lnx°+1)2，
令h（x）=xlnx-（lnx_°+1）x+x_°，因为h'（x）=lnx+1-lnx_°-1=lnx-lnx_°，
所以当x＜x_°时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x_°）上单调减；
当x＞x_°时，h'（x）＞0，则h（x）在(x°，e2)上单调增，
所以h（x）有最小值h（x_°）=0，即函数f（x）的图象均在l₂的上方，
令t(x)＝
x2
ln2x+2lnx+2，
则t′(x)＝
2xln2x+4xlnx+4x−2xlnx−2x
(ln2x+2lnx+2)2＝
2xln2x+2xlnx+2x
(ln2x+2lnx+2)2＞0，
所以当x＞x_°时，t（x）＞t（x_°），
所以当d最小时，x_°=e，m=-e．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，考查两直线的距离和构造函数运用导数判断单调性，再运用求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．