已知椭圆C：M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=[3/5]，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长
已知椭圆C：M：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=[3/5]，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
赞 冷雨缘 幼苗
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解题思路：（I）利用椭圆的离心率e=[3/5]，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16，求出几何量，即可得到椭圆M的方程；
（Ⅱ）利用S△OPQ=4，可得点Q在与直线OP平行且距离为2
的直线l上，确定直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．
（Ⅱ）利用S△OPQ=4，可得点Q在与直线OP平行且距离为2
| 2 |
（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：
2a+2c＝16
c
a＝
3
5，解得
a＝5
c＝3…（3分）
又因为a2=b2+c2，所以b＝
a2−c2＝4
所以椭圆的方程为
x2
25+
y2
16＝1…（6分）
（Ⅱ）依题意|OP|＝2
2，直线OP的方程为y=x，…（7分）
因为S△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2
2，…（8分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
1年前
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