如图，在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=3，AB=5，BC=4，AA 1 =4，点D是AB的中点，

证明：（1）在直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ ，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，（1分）
又直三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中AC⊥CC ₁ ，
且BC∩CC ₁ =C
BC∩CC ₁ ⊂平面BCC ₁ B ₁
∴AC⊥平面BCC ₁ B ₁
而BC ₁ ⊂平面BCC ₁ B ₁
∴AC⊥BC ₁ ；
（2）设CB ₁ 与C ₁ B的交点为E，连接DE，（5分）
∵D是AB的中点，E是BC ₁ 的中点，
∴DE ∥ AC ₁ ，（7分）
∵DE⊂平面CDB ₁ ，AC ₁ ⊄平面CDB ₁ ，
∴AC ₁ ∥ 平面CDB ₁ ．（8分）
（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C ₁ F（9分）
由已知C ₁ C垂直平面ABC，则∠C ₁ FC为二面角C ₁ -AB-C的平面角（11分）
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=
12
5 （12分）
又CC ₁ =AA ₁ =4
∴tan∠C ₁ FC=
5
3 （13分）
∴二面角C ₁ -AB-C的正切值为
5
3 （14分）

1年前