（2014?广东模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆

（1）∵过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，
∴4a=8，a=2．
∵△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为正三角形，
∴e=[1/2]，即[c/a＝
1
2]，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆E的方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）由

y＝kx+m

x2
4+
y2
3＝1，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0．
∴4k²-m²+3=0．
此时x₀=?
4km
4k2+3=?
4k
m，y₀=[3/m]，
即P（?
4k
m，[3/m]）
由

y＝kx+m
x＝4，得Q（4，4k+m）．
取k=0，m=
3，此时P（0，
3），Q（4，
3），
以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-
3）²=4，交x轴于点M₁（1，0）或M₂（3，0）．
取k=-[1/2]，m=2，此时P（1，[3/2]），Q（4，0），
以PQ为直径的圆为（x-[5/2]）²+（y-[3/4]）²=[45/16]，交x轴于点M₃（1，0）或M₄（4，0）．
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），
证明如下∵

MP＝(?
4k
m?1，
3
m)，

MQ＝(3，4k+m)，
∴

MP?

MQ＝?
12k
m?3+
12k
m+3＝0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．