风中柳影 幼苗
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(Ⅰ)函数f(x)的定义域为R,f′(x)=
a(1−x2)
(x2+1)2=
a(1−x)(1+x)
(x2+1)2,
∵a>0,
∴当x<-1,或x>1时,f′(x)<0;当-1<x<1时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).
(Ⅱ)证明:f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,e)上单调递减,
又f(0)=2a,f(e)=
ea
e2+1+2a>2a,
∴当x∈(0,e)时,f(x)>2a.
由g(x)=alnx-x+a,可得g′(x)=
a/x−1=
a−x
x].
∴当a≥e时,函数g(x)在区间(0,e)上是增函数,
∴当x∈(0,e)时,g(x)<g(e)=2a-e<2a.
∴当x∈(0,e)时,
对于任意的x1,x2∈(0,e),都有f(x1)>2a,g(x2)<2a,∴f(x1)>g(x2).
当0<a<e时,函数g(x)在区间(0,a)上是增函数,在区间(a,e)上是减函数,
∴当x∈(0,e)时,g(x)≤g(a)=alna<2a.
∴当x∈(0,e)时,
对于任意的x1,x2∈(0,e),都有f(x1)>2a,g(x2)<2a,所以f(x1)>g(x2).
综上,对于任意的x1,x2∈(0,e),都有f(x1)>g(x2). …(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查函数恒成立问题,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.
1年前
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