（2007•溧水县一模）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F

（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．
BF=24÷2-x=12-x （1分），
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
∵FG∥AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴[FG/AK]=[BF/AB]，
∴FG=
4(12−x)
5，
∴S_△BEF=[1/2]×
4(12−x)
5×x=
24x−2x2
5（7≤x≤10）；

（2）存在． （4分）
由（1）得
24x−2x2
5=14，（5分），
解得x₁=7，x₂=5（不合题意舍去），
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
此时BE=7．（6分）



（3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
假设存在，第一种情况：显然是：S_△BEF：S_AFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周长的三分之一为[24/3]=8，面积的三分之一为[28/3]．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴[8−x/5]=[FM/4]，
∴FM=[32−4x/5]，
∴△BEF的面积=-[2/5]x²+[16/5]x，
当[1/3]_{梯形ABCD的面积}=[28/3]时，
∴[28/3]=-[2/5]x²+[16/5]x，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．
第二种情况：显然是：S_△BEF：S_AFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周长的三分之一为：[24/3]=8，面积的三分之一为：[28/3]．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴[8−x/5]=[FM/4]，
∴FM=[32−4x/5]，
∴△BEF的面积=-[2/5]x²+[16/5]x，
当 [1/3]_{梯形ABCD的面积}=[28/3]时，
∴[28/3]×2=-[2/5]x²+[16/5]x，
整理方程得：3x²-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；等腰梯形的性质．

考点点评： 此题主要考查了相似三角形的判定以及根的判别式和解一元二次方程等知识，根据已知得出BF与FG的长是解决问题的关键．