（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：

解题思路：（Ⅰ）针对a进行分类讨论，若a=0，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，a≠0时，f（x）=3ax²+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x₁-x₂）²转化成关于[b/a]的二次函数，根据[b/a]的范围求出值域即可．

证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，
与已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a²+c²-ac）=4[(a−
1
2c)2+
3
4c2]＞0
故方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）由条件，知x1+x2＝−
2b
3a，x1•x2＝
c
3a＝−
a+b
3a，
所以（x₁-x₂）²=（x₁-x₂）²-4x₁x₂=[4/9(
b
a+
3
2)2+
1
3]．
因为−2＜
b
a＜−1，
所以[1/3≤(x1−x2)2＜
4
9]
故

3
3≤|x1−x2|＜
2
3

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．