已知抛物线 顶点为C（1,1）且过原点O.过抛物线上一点P（x,y）向直线 作垂线,垂足为M,连FM（如图）.

抛物线y=ax^2+bx+c＝a(x+b/2a)^2+c-b^2/(4a^2)
顶点坐标为：(-b/2a,c-b^2/(4a^2))
顶点为C（1,1）且过原点O,故c=0
代入解得：a=-1,b=2,c=0
方程为y=-x^2+2x
(3)假设存在,设P（x0,y0）,
y0=-x0^2+2x0 [1]
|PM|=1.25-y0
|PN|=√[(x0-1)^2+(y0-t)^2]
|PM|=|PN|
1.25-y0=√[(x0-1)^2+(y0-t)^2] [2]
联立[1]、[2]式,可得
t^2+2x0(x0-2)t-1.5x0^2+3x0-9/16=0 [3]
由于假设N存在,上式以t为未知数的二次方程应至少有一个实根,故有△>=0恒成立
即要△＝4x0^2(x0-2)^2+4[1.5x0^2-3x0+9/16]>=0恒成立
而△＝4x0^2(x0-2)^2+4[1.5x0^2-3x0+9/16]=4x0^2(x0-2)^2+6(x0-1)^2-15/4>0成立,
故假设成立,[3]有两个不同的实根,即t值存在.

你这个问题说得很不明晰，字母abc从哪里来的？还有怎么出来了点F？F是焦点吗？
即便如此，我还是可以解答你第三问的。首先要求出抛物线方程。顶点知道了，你可以先设y=ax^2+bx+c.这样就已知最大值为1，且对称轴为x=1，过原点，很轻松就可以求出方程为y=-x^2+2x.
你学过抛物线定义吧？不明白可以到网上查查。就是一个点的轨迹，这个点到一个定点和到一条直线的距离相等。从本题看...