一道线性代数的题.n阶矩阵满秩,取其前r行构成一个线性齐次方程组,证明,其r+1行,r+2行.n行的n—r个代数余子式构

证明:设A为n阶满秩矩阵,其前r行构成矩阵Ar.
构造辅助矩阵Bij:将A的第i行元素换成第j行的元素,i=r+1,...,n,j=1,2,...,r
则 |Bij|=0
将Bij按第i行展开,即有 aj1Ai1+aj2Ai2+...+ajnAin = |Bij| = 0.
所以 αi = (Ai1,Ai2,...,Ain)^T 是齐次线性方程组 ArX=0 的解,i=r+1,...,n
又因为 r(A)=n,所以 r(A*)=n.
所以 αr+1,...,αn 线性无关
所以 αr+1,...,αn 是齐次线性方程组 ArX=0 的 n-r个线性无关的解向量
而 r(Ar)=r,故 αr+1,...,αn 是ArX=0 的基础解系.