设向量α=(a1，a2…an)T，β=(b1，b2，…bn)T，都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αTβ

解题思路：（1）利用矩阵A2=（αTβ）（αTβ）=α（βTα）βT即可求出；（2）先可以求出矩阵A的特征值为零，然后设向量α，β中分量a1≠0，b1≠0，对齐次线性方程组（0E-A）x=0的系数矩阵施以初等变换即可解出．

（1）
由A=α^Tβ和α^Tβ=0，有：
A²=（α^Tβ）（α^Tβ）=α（β^Tα）β^T=（β^Tα）αβ^T=（α^Tβ）αβ^T=O，
即A为n 阶零矩阵．

（2）
设λ为n阶矩阵的任一特征值，属于特征值λ的特征向量为x（x≠0），
则：Ax=λx，
于是：A²x=λAx=λ²x，
因为A²=O，所以λ²x=0，
因为x≠0，故：λ=0，即矩阵A的特征值全为零，
不妨设向量α，β中分量a₁≠0，b₁≠0，
对齐次线性方程组（0E-A）x=0的系数矩阵施以初等变换：
−A＝

−a1b1−a1b2…−a1bn
−a2b1−a2b2…−a2bn
⋮⋮⋮
−anb1−anb2…−anbn→

b1b2…bn
00…0
⋮⋮ ⋮
00…0，
由此可得该方程组的基础解系为：
α1＝(−
b2
b1，1，0，…，0)T，
α2＝(−
b3
b1，0，1，…，0)T，
…
αn−1＝(−
bn
b1，0，0，…，1)T，
于是A属于特征值λ=0的全部特征向量为：
c₁a₁+c₂a₂+…+c_n-1a_n-1（c₁，c₂，…，c_n-1是不全为零的任意常数）．

点评：
本题考点： 矩阵的特征值和特征向量的求解．

考点点评： 本题主要考查矩阵的特征值和特征向量的求法，需要大家熟练运用，属于中等难度题．