关于模的问题Show that if ab≡1 (mod p),p is an odd prime,then (a/p)

从翻译看, 感觉你对题目的中的概念不是很清楚.
p应该是一个奇质数, (a/p)不是分数a/p, 而是Legendre符号:
若p整除a, 定义(a/p) = 0;
若p不整除a, 且存在整数x使x² ≡ a (mod p), 定义(a/p) = 1;
若p不整除a, 且不存在整数x使x² ≡ a (mod p), 定义(b/p) = 1.
题目要证明的就是在ab ≡ 1 (mod p)的条件下成立(a/p) = (b/p).
证明: ∵ab ≡ 1 (mod p), p > 1,
∴p不整除a也不整除b,
∴(a/p) = (b/p)就等价于证明x² ≡ a (mod p) ①有解当且仅当x² ≡ b (mod p) ②有解.
假设①有解k, 即k² ≡ a (mod p).
可知p不整除k(否则易得p整除a的矛盾).
而∵p为质数, ∴p与k互质,
∴存在整数u, v使up+vk = 1 (Bezout定理),
∴vk ≡ 1 (mod p),
∴v²a ≡ v²k² ≡ 1 (mod p).
又∵ab ≡ 1 (mod p),
∴(v²-b)a ≡ 0 (mod p), 即p整除(v²-b)a,
∴p整除v²-b (p为质数且p不整除a),
即v² ≡ b (mod p), ②也有解.
同理, 若②有解可推知①也有解.
因此(a/p) = (b/p), 证毕.
另外, 如果可以使用Legendre符号的性质: (a/p)·(b/p) = (ab/p),
那么证明只要三行: ∵ab ≡ 1 (mod p),
∴ (a/p)·(b/p) = (ab/p) = (1/p) = 1,
∴ (a/p)与(b/p)同号, 即(a/p) = (b/p).