已知抛物线y=x2-（2m-1）x+4m-6．

解题思路：（1）将抛物线的解析式化为交点式，可求得抛物线与x轴的交点其中一个是定值，不随m的变化而变化；
（2）本题可从两个方面考虑：①AB的距离小于6，可用韦达定理求出一个m的取值范围，
②由于A、B分别在原点两侧，因此根据韦达定理有x₁x₂＜0，据此可求出另外一个m的取值范围．综合两种情况即可得出所求的m的取值范围；
（3）本题要先画出图形，分抛物线对称轴在y轴左侧和右侧两种情况进行求解．解题思路一致．假设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E，都是通过在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分别表示出OD和ME的长，根据OD=ME来列等量关系求出t的值．

（1）由题意可知：y=（x-2）（x-2m+3），
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m-3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；

（2）令y=0，有：x²-（2m-1）x+4m-6=0，则：
x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=4m-6；
∵AB＜6
∴x₂-x₁＜6，
即（x₂-x₁）²＜36，（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜36，
即（2m-1）²-4（4m-6）＜36，
解得-[1/2]＜x＜[11/2]．①
根据A、B分别在原点两侧可知：x₁x₂＜0，
即4m-6＜0，m＜[3/2]．②
综合①②可得-[1/2]＜m＜[3/2]；

（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x正半轴时，x=[2m−1/2]＞0，
因此[1/2]＜m＜[3/2]，
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=[2m−1/2]，CD=BC=OB-OC=2-[2m−1/2]=[5−2m/2]，EC=[1/2]BC=[5−2m/4]，
OE=MD=OC+CE=[2m−1/2]+[5−2m/2]=[2m+3/4]．
易知：OD=ME，即OD²=ME²
∴CD²-OC²=CM²-CE²，
（[2m−5/2]）²-（[2m−1/2]）²=（[2m+3/4]）²-（[5−2m/4]）²；
解得m=[7/6]，符合m的取值范围．
②当C点在x负半轴时，x=[2m−1/2]＜0，
因此-[1/2]＜m＜[1/2]，
同①可求得OC=[1−2m/2]，CD=AC=[5−2m/2]，CE=[5−2m/4]，MD=OE=[7−6m/4]．
同理有：CD²-OC²=MC²-CE²
（[5−2m/2]）²-（[1−2m/2]）²=（[7−6m/4]）²-（[5−2m/4]）²
化简得：m²=[9/4]，
∴m=±[3/2]，均不符合m的取值范围，
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m=[7/6]．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题结合圆和一元二次方程的相关知识考查了二次函数的综合应用，难度较大．