讨论函数f（x,y）=x（sin 1分之Y ）y不等于0 或=0 y=0的连续性

f﹙x,y﹚＝
┏x sin﹙1/y﹚ y≠0
┗0 y＝0
在﹙x,y﹚,当y≠0时,是初等函数,当然连续.
在﹙0,0﹚,对ε＞0 取δ＝ε＞0 当√﹙x²+y²﹚＜δ时 |f﹙x,y﹚-f﹙0,0﹚|≤|x|≤√﹙x²+y²﹚＜δ＝ε
∴f（x,y）在﹙0,0﹚连续.
在﹙x1,0﹚,x1≠0,取ε＝|x1|/2,任何δ＞0 总有y≠0, 使|√[﹙x1-x1﹚²+﹙y-0﹚²]＝|y|＜δ
而|f﹙x1,y﹚-f﹙x1,0﹚|＝|x1|＞ε [取sin﹙1/y﹚＝1的小y即可.]
∴f（x,y）在﹙x,0﹚ x≠0 不连续.