（2004•江苏）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．

（2004•江苏）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）若首项a1=[3/2]，公差d=1．求满足Sk2＝(Sk)2的正整数k；
（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2＝(Sk)2成立．
子君狼 1年前 已收到1个回答 举报
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韩宇 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）Sn＝na1+
n(n−1)
2
d＝
3
2
n+
n(n−1)
2
＝
1
2
n2+n，由Sk2＝(Sk)2得[1/4k4− k3＝0，又k是正整数，所以k=4．
（Ⅱ）设数列
a
2]的公差为d，则在Sk2＝(Sk)2中分别取k=1，2得
a1＝a12，①
4a1+6d＝(2a1+d)2，②
，由此能求出只有3个满足条件的无穷等差数列．

（Ⅰ）∵首项a1=[3/2]，公差d=1．
∴Sn＝na1+
n(n−1)
2d＝
3
2n+
n(n−1)
2＝
1
2n2+n，
由Sk2＝(Sk)2得[1/2(k2)2+k2＝(
1
2k2+k )2，
即
1
4k4− k3＝0，
∵k是正整数，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）设数列
a
2]的公差为d，
则在Sk2＝(Sk)2中分别取k=1，和k=2得

S1＝(S1)2
S4＝(S2)2，
即

a

点评：
本题考点： 等差数列的前n项和．

考点点评： 本题考查等差数列的性质和应用，具体涉及到等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化

1年前

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