微积分 证明 存在ε,η∈(a,b),使得f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)*e^(-η)/(b-a)

微积分 证明 存在ε,η∈(a,b),使得f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)*e^(-η)/(b-a)
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f'(x)≠0,试证:存在ε,η∈(a,b),使得f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)*e^(-η)/(b-a)
xiaozsheng 1年前 已收到1个回答 举报

mm33yy 幼苗

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先利用柯西中值定理
设函数f(x),g(x)=e^x在[a,b]上连续,在(a、b)内可导,且g'(x)≠0(x∈(a,b)),则至少存在一点η∈(a,b),使得 f'(η)/g'(η)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立.
再根据拉格朗日中值定理
函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b],使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
将此式代入上式中得出
f'(η)/g'(η)=f'(ξ)*(b-a)/[g(b)-g(a)]
f'(ε)/f'(η)=[g(b)-g(a)]/(b-a)g'(η)
将g(x)=e^x将入其中
f'(ε)/f'(η)=(e^b-e^a)/(b-a)e^η
=(e^b-e^a)*e^-η/(b-a)

1年前

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