（2011•金台区模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)经过点P（2，1），离心率e＝32，直线l与椭圆

解题思路：（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）所以可得a与b的一个关系式，结合e＝

c

a

＝

3

2

，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）证明：设出A，B两个点的坐标，再分斜率存在与不存在两种情况设出直线l方程．
当斜率存在时：y=kx+m，直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．结合根与系数的关系表示出

PA

•

PB

=

(6k+5m+3)(2k+m−1)

1+4k2

＝0
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．当斜率k不存在，易知x＝

6

5

，符合题意．

（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）
所以[4
a2+
1
b2＝1，
又因为e＝
c/a＝

3
2]，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程为
x2
8+
y2
2＝1．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y=kx+m
直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
则x1+x2＝−
8km
1+4k2，x1x2＝
4m2−8
1+4k2．


PA•

PB＝(x1−2，y1−1)•(x2−2，y2−1)=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+(km−k−2)(x1+x2)+4+(m−1)2＝(1+k2)•
4m2−8
1+4k2+(km−k−2)•(−
4m2−8
1+4k2)+4+(m−1)2
=

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线．

考点点评： 解决此类问题的关键是准确的运算，抓住向量的数量积等于0结合根与系数的关系准确的化简得出结果，本题出错的关键是不能准确的进行代数运算，正确的代数运算也是高考成功的条件之一．