（14分）设 F 1 、 F 2 分别为椭圆 C ： =1（ a ＞ b ＞0）的左、右两个焦点.

（1）椭圆 C 的方程为 =1，焦点 F ₁ （－1，0）， F ₂ （1，0）.
（2） 为所求的轨迹方程.
（3） k _PM · k _PN = .证明略

（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F ₁ 、 F ₂ 两点的距离之和是4，得2 a =4，即 a =2.又点 A （1， ）在椭圆上，因此 =1得 b ² =3，于是 c ² =1.
所以椭圆 C 的方程为 =1，焦点 F ₁ （－1，0）， F ₂ （1，0）.
（2）设椭圆 C 上的动点为 K （ x ₁ ， y ₁ ），线段 F ₁ K 的中点 Q （ x ， y ）满足：
， 即 x ₁ =2 x +1， y ₁ =2 y .
因此 =1.即 为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若 M 、 N 是双曲线： =1上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM 、 PN 的斜率都存在，并记为 k _PM 、 k _PN 时，那么 k _PM 与 k _PN 之积是与点 P 位置无关的定值.
设点 M 的坐标为（ m ， n ），则点 N 的坐标为（－ m ，－ n ），其中 =1.
又设点 P 的坐标为（ x ， y ），由 ，
得 k _PM · k _PN = ，将 m ² － b ² 代入得 k _PM · k _PN = .