x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
沉默者的沉默 幼苗
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解(1)∵|MN|=8∴a=4
又∵|PM|=2|MF|,∴
a2
c-a=2(a-c)
化简得,a2-3ac+2c2=0,两边同除a2,得,
2e2-3e+1=0⇒e=
1
2或e=1(舍去)
又∵a=4,∴c=2,,
b2=a2-c2=12
∴椭圆的标准方程为
x2
16+
y2
12=1
(2)当AB的斜率为0时,显然∠AFM=∠BFN=0.满足题意
当AB的斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB方程为x=my-8,
代入椭圆方程,整理得(3m2+4)y2-48my+144=0
则△=(48m)2-4×144(3m2+4),y1+y2=
48m
3m2+4,y1•y2=
144
3m2+4
∴kAF+kBF=
y1
x1+2+
y2
x2+2=
y1
my1-6+
y2
my2-6=
2my1y2-6(y1+y2)
(my1-6)(my2-6)=0
∴kAF+kBF=0,从而∠AFM=∠BFN.
综上可知:恒有∠AFM=∠BFN.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
考点点评: 本题主要考查了椭圆标准方程的求法,直线与圆锥曲线位置关系的判断,做题时注意应用韦达定理.
1年前
你能帮帮他们吗